Алгебраическая основа: линии и аффинные множества
Чтобы ориентироваться в многомерной области оптимизации, мы должны определить, как перемещаться между двумя точками $x_1$ и $x_2$. Математическая прямая — это множество всех точек $y$, удовлетворяющих условию:
$$y = \theta x_1 + (1 - \theta)x_2$$
Эквивалентно, мы можем рассматривать это как движение от точки $x_2$ в направлении $(x_1 - x_2)$, масштабированном на $\theta$: $y = x_2 + \theta(x_1 - x_2)$. Когда $\theta$ пробегает все действительные числа $\mathbb{R}$, мы получаем аффинное множество. Ключевое свойство, которое следует помнить: Любая прямая является аффинной. Если она проходит через ноль, то является подпространством, а значит, также выпуклым конусом.
Отрезок — это ограничение, при котором $0 \le \theta \le 1$. В отличие от бесконечной прямой, отрезок является выпуклым, но не аффинным (если только он не сводится к одной точке). Он представляет собой совокупность всех «взвешенных средних» или смесей между двумя конечными точками.
Луч, имеющий вид $\{x_0 + \theta v \mid \theta \ge 0\}$, где $v \neq 0$, также является выпуклым, но не аффинным. Лучи являются фундаментальными элементами для построения конусов в теории оптимизации.
Тест на выпуклость
Мы определяем множество $C$ как выпуклое если отрезок, соединяющий любые две точки множества, полностью лежит внутри него. Эта простая требовательность — включение «моста» — делает задачи оптимизации решаемыми или непреодолимыми.
Пример: Оптимизация портфеля
В финансах, предположим, что $x_1$ представляет портфель из 100% акций, а $x_2$ — 100% облигаций. Отрезок представляет все возможные взвешенные комбинации. Например, соотношение 60/40 достигается при $\theta = 0.6$. Если множество «допустимых портфелей» выпукло, то любая смесь двух допустимых портфелей гарантированно будет допустимой — свойство, которое значительно упрощает оценку рисков.